Marcando la diferencia

Fractales


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Un fractal es un objeto geométrico en el que se repite el mismo patrón a diferentes escalas y con diferente orientación.

Los fractales son entidades matemáticas que están por todas partes. Y, precisamente, por su variedad, son difíciles de definir porque no todos cumplen las mismas características, aunque hay algo en común: son el producto de la repetición de un proceso geométrico elemental que da lugar a una estructura final de una complicación extraordinaria.  Es decir, da como resultado un conjunto cuya frontera es imposible dibujar a pulso (por ser de longitud infinita). Hay muchos objetos de la naturaleza que, debido a su estructura o comportamiento, son considerados fractales naturales aunque no lo parezcan: las nubes, las montañas, las costas, los árboles y los ríos. En lo que se diferencian de los fractales matemáticos es que éstos son entidades infinitas.

La medición de formas fractales (fronteras, poligonales, etc,) ha obligado a introducir conceptos nuevos que van más allá de los conceptos geométricos clásicos.  Dado que un fractal está constituido por elementos cada vez más pequeños, repetidos una y otra vez, el concepto de longitud no está claramente definido.  Por más que queramos medir una linea fractal siempre habrá objetos más pequeños que escaparán a la sensibilidad de los instrumentos que utilicemos, por precisos que sean (y a medida que aumenta la sensibilidad del instrumento aumenta la longitud de la línea).  Así, como la longitud de la línea fractal depende de la longitud de instrumento con que la midamos, no nos sirve la noción tradicional de longitud. Para ello se ha ideado otro concepto: el de dimensión fractal.  Una forma fácil de apreciarla es mediante estos triángulos que te presentamos a contiuanción:

Aunque existen inclusive formas bastantes curiosas, que a simple vista no tienen una estructura geométrica bien definida, con fíguras que no se cierran como las que puedes observar.   Es decir, por mucho que nos acerquemos o alejemos del objeto, observaremos siempre la misma estructura.  De hecho, somos incapaces de afirmar a qué distancia nos encontramos del objecto, ya que siempre lo veremos de la misma forma.El termino fractal (del Latín fractus) fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975.  En la naturaleza encontramos muchas estructuras con geometría fractal, como por ejemplo, en el ROMANESCU.  El romanescu, es un híbrido de brécol y coliflor de la familia de las brasicáceas.  El brécol romanescu fue documentado inicialmente en Italia en el siglo XVI.

Figura del Romanescu.

Existen muchísimos fractales, ya que como veremos, son muy fáciles de construir.  Los ejemplos más populares son el conjunto “Mandelbrot” o el triángulo “Sierpinski”.  Este último se realiza de una forma muy sencilla: dibujamos un triángulo grande, colocamos otros tres triángulos en su interior a partir de sus esquinas, repetimos el último paso.

Otro sencillo ejemplo lo constituye la alfombra de Sierpinski:

Sierpinski Carpet

Como puede verse, la estrategia más sencilla para conseguir un fractal, es tomar una figura y reproducirla en versiones más pequeñas.  Sin embargo, se pueden conseguir objetos muchos más complejos.

La expresión fractal viene del latín fractus, que significa fractu rado, roto, irregular.  La expresión
y el concepto se atribuyen al matemático Benoit B. Mandelbrot, y aparecen como tal a finales de la década de los setenta y principios de los ochenta (Mandelbrot, 1977 y 1982).  Anteriormente, los matemáticos Cantor y Peano, entre otros, definen objetos que los podemos ubicar dentro de esta categoría, pero no son reconocidos como tales.

El conjunto de Mandelbrot fue propuesto en los años setenta, pero no fue hasta una década más tarde cuando pudo representarse gráficamente con un computador y el uso de matemáticas iterativas.

Si además consideramos números complejos, obtenemos la siguiente figura:

(Un número complejo es tal que tiene una parte real y otra imaginaria Z= R + jx, o dicho de otra forma las que tienen raices negativas, raiz cuadrada de un número negativo)

MandelSet

Otra persona colaborador de estas ciencias fue Gastón Julia, este señor fue el precursor de lo que hoy conocemos como Fractales, su obra principal es lo que conocemos como Julia Set o el Conjunto de Julia, que son representaciónes graficas que puede observar:

Estas formas son una familia de conjuntos fractales  que se obtienen al estudiar el comportamiento de los números complejos al ser iterados por una función holomorfa.

Aplicaciones de los fractales: Puede parecer que los fractales son meras curiosidades matemáticas sin ninguna utilidad. Sin embargo son herramientas de gran potencia para afrontar el estudio de fenómenos complejos. Comunicaciones: Modelado del tráfico en redes; Informática: Técnicas de compresión (audio y vídeo); Robótica: Robots Fractales; Infografía: Paisajes fractales; Biología: Crecimiento tejidos, organización celular Evolución de poblaciones Depredador-presa; Matemáticas: Convergencia de métodos numéricos; Música: Composición musical; Física: Transiciones de fase en magnetismo; Química: Agregación por difusión limitada (DLA); Geología: Análisis de patrones sísmicos; Economía: Análisis bursátil y de mercado, fenómenos de erosión, modelos de formaciones geológicas. En la medicina –  Cardiologia: Estudia la variabilidad de la dimensión fractal del árbol coronario izquierdo en pacientes con enfermedad arterial oclusiva severa.

A este post le falta lo principal, enfocar lo que viene a continuación, preste atención a esto:

Las relaciones entre el Caos y los Fractales: La Teoría del Caos surgió cuando Edward Lorenz dio a conocer en 1963 un modelo climático que, por su comportamiento, atrajo la atención de muchos físicos, aunque se basaba en trabajos anteriores, como los de Julia (ya mencionado arriba), Poincaré o Lyapunov. Junto a la mecánica cuántica y a la teoría de la relatividad, se considera la tercera gran teoría del siglo XX. Algunos la consideran como la ciencia de la totalidad, ya que consideran determinismo e indeterminismo como uno solo.

La Teoría del Caos ha tenido gran relevancia en muchos campos científicos actuales como la medicina, la biología, la ingeniería, la economía y otras.

En el campo de la medicina se pueden encontrar varias estructuras fractales: redes neuronales, disposición espacial de las glándulas, etcétera.

Dentro de la Ingeniería la teoría del Caos se entiende como un herramienta de análisis, que ha permitido afrontar problemas que hasta hace poco era imposible abordar como, por ejemplo, responder a las siguientes cuestiones:

  • Las leyes de propagación de una fractura
  • Las averías de máquinas
  • Por qué las nubes de humo de dos cigarrillos, de la misma marca, encendidos a la vez, no se parecen en nada tras un breve período

En la Teoría del Caos un sistema dinámico puede referirse a la bolsa de valores para un economista o al corazón humano para un médico, y algunos científicos consideran la teoría fractal como una herramienta necesaria para estudiar sistemas dinámicos como los mencionados anteriormente u otros que suceden en la naturaleza.

El atractor es uno de los conceptos fundamentales del Caos, que se utiliza para representar la evolución en un sistema dinámico.  Este tipo de representación ya había sido usado por Henri Poincaré. Dentro de los atractores aparece un tipo denominado atractores extraños. El Atractor de Lorenz como ejemplo de lo que estamos mencionado.

Es una de las ciencias de las matemáticas tan interesantes que valdría la pena poder realizar un estudio a profundidad y ver otras formas de aplicaciones a nuestras vidas cotidianas.  Esta parte de las matemáticas es reciente y ha tenido gran impacto especialmente en los años 1980/2000 que ha sido objeto de profundos estudios y aplicaciones que arriba los fuimos citando en forma sucinta.

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